편미분


함수 f(x) 의 미분 df/dx 에 대해서는 여기서 되풀이할 필요가 없을 것입니다.  이 경우 독립 변수가 x 하나 뿐이므로, 함수 f 의 값이 변화하였다면 필히 독립 변수 x 의 값이 변화하였기 때문일 것입니다. 

그러나 어떤 함수가 2 개 이상의 독립 변수를 가지고 있다면 상황은 달라집니다.  예를 들어, 휘발유의 소비자 가격 f 는 원유 가격 x 와 특별소비세율 y 에 의해 결정된다고 합시다.  이 때 원유 가격과 특별소비세율 사이에는 아무런 상관 관계가 없습니다.  이 때 우리는 함수 f 가 두 개의 독립 변수 x 와 y 에 의해 결정된다고 하며, f = f(x,y) 라고 표현합니다.

이 때 우리는 휘발유 가격의 변화를 가져올 수 있는 두 가지 경우를 생각하게 됩니다.  즉, 특별 소비세율이 변화하지 않는 상황에서 원유 가격이 변화하였을 때 휘발유의 소비자 가격이 얼마나 변화하는지를 살펴볼 수 있고, 반대로 원유 가격이 변화하지 않는 상황에서 특별 소비세율을 변화시켰을 때 휘발유의 소비자 가격이 얼마나 변화하는지를 살펴볼 수도 있습니다.  즉, x 를 고정시킨 상황에서 df/dy 를 생각할 수도 있고, y 를 고정시킨 상황에서 df/dx를 생각할 수도 있습니다.  이것을 각각x   과  으로 표현합니다.

연습문제. f(x,y) = x2y3 으로 주어졌을 때, x   을 구하여라.

[풀이] y 를 구하려면 먼저 양변의 미분을 취합니다. 

df = 2xy dx+  3x2y2dy

여기서 사용한 것은  오직 (uv)' = u'v+uv' 뿐입니다.  그런데 y 를 고정시킨다면 dy = 0 이므로 df 와 dx 사이에 생기는 비례식을 y 로 표현하면 그것은  2xy 이 됩니다.

이것을 다르게 생각해보면, y 가 변화하지 않으므로 y 를 상수 취급합니다.  즉, f(x,y) = x2y3 에서 y3 을 상수로 취급합니다.  따라서 = 2x y이 됩니다.  마찬가지로, x =3x2y2 이 됩니다.


위의 예에서 원유 가격과 특별소비세율 사이에는 아무런 상관 관계가 없는 경우를 생각했는데, 그럴 경우 변수 x 와 y 는 서로 독립입니다.  그러나 만일 정부에서 특별 소비세율 y 를 원유 가격 x 에 따라 변화시킨다면, 그들 사이에 함수 관계가 존재하게 되고 y = y(x) 가 되어 더 이상 두 개의 변수는 독립이 아니게 됩니다.  즉, 아무리 두 개의 변수로 표현하였다 하더라도, 실제로는 x 하나만 알면(물론 x 대신에 y 를 선택할 수 있습니다) 함수 f 의 값을 계산할 수 있습니다. 

위의 연습문제에서 실제 x 와 y 사이에 y(x) = 1/x 라는 관계식이 존재한다고 합시다.  그럴 경우 우리는 두 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 

첫번째 방법은, 함수 f(x,y) =  x2y3 에 y(x) = 1/x 의 관계식을 적용하여 다시 표현하는 것입니다.  즉,

 f(x,y) = x2 (1/x)3 =1/x 

가 되어 df/dx=-1/x2 이 됩니다.

두번째 방법은, 연쇄법칙(chain rule)을 사용하는 방법입니다.  일단 x 와 y 를 독립인 것처럼 취급하여 편미분을 구합니다.  그러면,

 

가 되는데. 양변을 dx 로 나누어

 

와 같이 계산하는 방법입니다.  위의 예에 적용하면, 이것은

df/dx = 2x y+ 3x2y2 (dy/dx)

가 되는데, 이 때 dy/dx=-1/x2 이므로

df/dx = 2/x2 + 3 x2(1/x)2 (-1/x2) =-1/x2

이 되어 앞의 결과와 같게 됨을 볼 수 있습니다.  이것은 즉, 아래 그림에서 연두색으로 주어진 곡선 ( y = 1/x )를 따라가면서 함수값 f 의 변화량과 변수 x 의 변화량 사이의 비율을 계산한 것과 같습니다.